羅素理髮師悖論，理髮師刮臉引發第三次數學危機

理髮師悖論是羅素悖論中的一個典型，因爲這個悖論以理髮師作爲例子而聞名世界，甚至引發了第三次數學危機。而這個悖論探究的終極問題是，這個理髮師該不該給自己刮臉，就這樣一個簡單地故事，卻將數學家康托爾的集合論攪和的一團糟。

世界十大悖論：費米悖論、烏鴉悖論、黃油貓悖論、芝諾悖論、霍金悖論、理髮師悖論、外祖母悖論、上帝悖論、說謊者悖論、伊壁鳩魯悖論

有一位理髮師在廣告上聲稱：“將爲本城所有不給自己刮鬍子的人刮鬍子，我也只給這些人刮鬍子。”但有一天，這位理髮師從鏡子裏看見自己的鬍子長了，那他能不能給他自己刮鬍子呢?如果他不給自己刮，他就屬於“不給自己刮鬍子的人”，他就要給自己刮鬍子，而如果他給自己刮鬍子呢?他又屬於“給自己刮鬍子的人”，他就不該給自己刮鬍子了。

理髮師悖論的解決方法

這個“悖論”的問題就出在這裏了：“不給自己刮臉的人”的界定標準是什麼?

1、界定標準是：如果村裏的任一村民x，從出生到死亡都從來沒有自己給自己刮過臉，即一生中都沒有“自己給自己刮臉”的“劣跡”，那麼，x是“不給自己刮臉的人”。

2、界定標準是：如果村裏的任一村民x，在接受該理髮師刮臉服務之前從無自己給自己刮過臉，即在接受該理髮師刮臉服務之前沒有“自己給自己刮臉”的“劣跡”，那麼，x是“不給自己刮臉的人”。

很明顯，界定標準1是不可能的，因爲這個標準是不允許給活人刮臉的。唯一合理的界定標準爲2。由界定標準2可知，理髮師或者符合他制定的規則，或者不符合，二者必居其一，不存在悖論。通過上面的分析表明，“理髮師悖論”是由於混淆概念引起的，是與羅素悖論完全不同的。“理髮師悖論”是羅素的一個敗筆和渾着，是與羅素悖論毫無類似之處的。羅素悖論是深刻的，屬於無窮引起的悖論，與芝諾悖論相似，而“理髮師悖論”什麼也不是。

十九世紀下半葉，德國數學家康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就爲廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成爲現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們爲之陶醉。

1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。

德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。”

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有着更爲深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞着數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。